1. Propiedades de las potencias
- Misma base, se multiplica: aᵐ · aⁿ = aᵐ⁺ⁿ
- Misma base, se divide: aᵐ / aⁿ = aᵐ⁻ⁿ
- Potencia de una potencia: (aᵐ)ⁿ = aᵐ·ⁿ
- Exponente cero: a⁰ = 1 (con a distinto de 0)
- Exponente negativo: a⁻ⁿ = 1 / aⁿ
Ejemplos.
2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
5⁶ / 5⁴ = 5² = 25
(3²)³ = 3⁶ = 729
2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8
2³ · 2⁴ = 2⁷ = 128
5⁶ / 5⁴ = 5² = 25
(3²)³ = 3⁶ = 729
2⁻³ = 1 / 2³ = 1/8
2. Notación científica
Un número se escribe como a · 10ⁿ, con a entre 1 y 10 (sin llegar a 10). Si el número es grande, n es positivo; si es muy pequeño, n es negativo.
Ejemplos.
45.000 = 4,5 · 10⁴ (la coma se corre 4 lugares a la izquierda).
0,0032 = 3,2 · 10⁻³ (la coma se corre 3 lugares a la derecha).
45.000 = 4,5 · 10⁴ (la coma se corre 4 lugares a la izquierda).
0,0032 = 3,2 · 10⁻³ (la coma se corre 3 lugares a la derecha).
3. Raíces
La raíz cuadrada de un número es el valor positivo que, elevado al cuadrado, da ese número. La raíz cúbica funciona igual con el cubo.
Ejemplos. √49 = 7 porque 7² = 49. ∛27 = 3 porque 3³ = 27.
Propiedad clave: √(a · b) = √a · √b. Sirve para simplificar buscando un cuadrado perfecto dentro del número.
Ejemplo. √72 = √(36 · 2) = √36 · √2 = 6√2.
4. Raíces como potencias
√a = a1/2 y ∛a = a1/3. Así puedes usar las propiedades de potencias también con raíces.
Ejemplo. 91/2 = 3 y 81/3 = 2.
5. Estimar una raíz
Busca los cuadrados perfectos entre los que queda el número.
Ejemplo. 16 < 20 < 25, entonces 4 < √20 < 5. Está más cerca de 4,5, y el valor real es unos 4,47.
Errores comunes
- Multiplicar los exponentes cuando hay que sumarlos (2³ · 2⁴ no es 2¹²).
- Pensar que a⁰ = 0: en realidad vale 1.
- Creer que (a + b)² = a² + b²: no es cierto.
- Sumar raíces distintas: √2 + √3 no es √5.
Ejercicios para practicar
- Calcula 3² · 3³.
- Calcula 7⁸ / 7⁶.
- Calcula (2⁻¹)⁴ y escríbelo como fracción.
- Escribe 360.000 en notación científica.
- Simplifica √45.
- ¿Entre qué dos números enteros consecutivos está √40?
- Calcula 271/3 + 161/2.
- Escribe 10⁻² como número decimal.
Ver respuestas
- 3⁵ = 243.
- 7² = 49.
- 2⁻⁴ = 1/16.
- 3,6 · 10⁵.
- √45 = √(9 · 5) = 3√5.
- 36 < 40 < 49, entonces entre 6 y 7.
- 3 + 4 = 7.
- 0,01.
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