1. Perímetro y área
- Rectángulo de lados a y b: perímetro 2a + 2b, área a · b.
- Triángulo: área base · altura / 2.
- Círculo de radio r: circunferencia 2πr, área πr².
Ejemplos.
Rectángulo de 8 por 5: perímetro 2 · 8 + 2 · 5 = 26; área 8 · 5 = 40.
Triángulo de base 10 y altura 6: área 10 · 6 / 2 = 30.
Círculo de radio 3: área 9π ≈ 28,3; circunferencia 6π ≈ 18,8.
Rectángulo de 8 por 5: perímetro 2 · 8 + 2 · 5 = 26; área 8 · 5 = 40.
Triángulo de base 10 y altura 6: área 10 · 6 / 2 = 30.
Círculo de radio 3: área 9π ≈ 28,3; circunferencia 6π ≈ 18,8.
2. Teorema de Pitágoras
En un triángulo rectángulo, con catetos a y b e hipotenusa c (el lado opuesto al ángulo recto): a² + b² = c².
Ejemplo. Catetos de 6 y 8: c² = 36 + 64 = 100, entonces c = 10.
Problema. Una escalera de 2,5 m se apoya en una muralla con su base a 1,5 m de ella. ¿A qué altura llega?
Altura² = 2,5² − 1,5² = 6,25 − 2,25 = 4, entonces la altura es 2 m.
Altura² = 2,5² − 1,5² = 6,25 − 2,25 = 4, entonces la altura es 2 m.
3. Semejanza (proporciones entre figuras)
Si dos figuras tienen la misma forma, sus lados correspondientes son proporcionales. Se usa mucho con sombras.
Ejemplo. Un poste de 2 m proyecta una sombra de 3 m. Al mismo tiempo, un árbol proyecta una sombra de 12 m. ¿Qué altura tiene?
2 / 3 = h / 12, entonces h = 2 · 12 / 3 = 8 m.
2 / 3 = h / 12, entonces h = 2 · 12 / 3 = 8 m.
4. Volumen
- Prisma o caja: largo · ancho · alto (en un cubo, arista³).
- Cilindro: πr² · altura.
Ejemplos.
Cubo de arista 4: 4³ = 64.
Cilindro de radio 2 y altura 5: π · 4 · 5 = 20π ≈ 62,8.
Cubo de arista 4: 4³ = 64.
Cilindro de radio 2 y altura 5: π · 4 · 5 = 20π ≈ 62,8.
5. Ángulos
Los ángulos interiores de un triángulo suman 180°; los de un cuadrilátero, 360°.
Ejemplo. Un triángulo tiene ángulos de 50° y 60°. El tercero mide 180° − 110° = 70°.
Errores comunes
- Olvidar dividir por 2 en el área del triángulo.
- Confundir circunferencia con área del círculo (2πr frente a πr²).
- Usar Pitágoras en triángulos que no son rectángulos.
- Usar el diámetro como si fuera el radio.
- Mezclar unidades: una área va en m², un volumen en m³.
Ejercicios para practicar
- Un rectángulo mide 12 m de largo y 7 m de ancho. Calcula su perímetro y su área.
- Calcula el área de un triángulo de base 14 y altura 5.
- Calcula el área de un círculo de diámetro 10 (usa π ≈ 3,14).
- Un triángulo rectángulo tiene hipotenusa 13 y un cateto de 5. ¿Cuánto mide el otro cateto?
- Una persona de 1,8 m proyecta una sombra de 1,2 m. En el mismo momento, un edificio proyecta una sombra de 20 m. ¿Qué altura tiene el edificio?
- Calcula el volumen de una caja de 5 por 4 por 3.
- Los ángulos de un triángulo miden x, 2x y 3x. ¿Cuánto mide cada uno?
Ver respuestas
- Perímetro 38 m (2 · 12 + 2 · 7); área 84 m².
- 35 (14 · 5 / 2).
- Radio 5, área 25π ≈ 78,5.
- 13² − 5² = 169 − 25 = 144, entonces 12.
- 1,8 / 1,2 = 1,5, entonces 20 · 1,5 = 30 m.
- 5 · 4 · 3 = 60.
- 6x = 180°, entonces x = 30°: 30°, 60° y 90°.
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