1. Ecuaciones de primer grado
Ejemplo. 3x + 5 = 20
Restamos 5: 3x = 15. Dividimos por 3: x = 5.
Restamos 5: 3x = 15. Dividimos por 3: x = 5.
Con paréntesis. 2(x − 3) = 10
Dividimos por 2: x − 3 = 5, entonces x = 8.
Dividimos por 2: x − 3 = 5, entonces x = 8.
Incógnita a ambos lados. 5x − 7 = 2x + 11
Pasamos 2x a la izquierda y 7 a la derecha: 3x = 18, entonces x = 6.
Pasamos 2x a la izquierda y 7 a la derecha: 3x = 18, entonces x = 6.
Con fracciones. x/3 + 2 = 5
x/3 = 3, entonces x = 9.
x/3 = 3, entonces x = 9.
Comprueba siempre reemplazando el resultado en la ecuación original.
2. La función afín f(x) = mx + n
- m es la pendiente: cuánto cambia y cuando x aumenta en 1. Si m > 0 la recta sube; si m < 0 baja.
- n es el coeficiente de posición: la recta corta el eje y en (0, n).
Ejemplo. f(x) = 2x + 3
f(4) = 2 · 4 + 3 = 11. Corta el eje y en (0, 3). Corta el eje x cuando 2x + 3 = 0, es decir, en x = −3/2.
f(4) = 2 · 4 + 3 = 11. Corta el eje y en (0, 3). Corta el eje x cuando 2x + 3 = 0, es decir, en x = −3/2.
3. Recta que pasa por dos puntos
Pendiente: m = (y₂ − y₁) / (x₂ − x₁). Luego se usa y − y₁ = m(x − x₁).
Ejemplo. Puntos (1, 2) y (3, 8).
m = (8 − 2) / (3 − 1) = 3. Entonces y − 2 = 3(x − 1), o sea y = 3x − 1. (Comprobación en (3, 8): 3 · 3 − 1 = 8.)
m = (8 − 2) / (3 − 1) = 3. Entonces y − 2 = 3(x − 1), o sea y = 3x − 1. (Comprobación en (3, 8): 3 · 3 − 1 = 8.)
4. Problemas con contexto
Un valor fijo más un valor por unidad es una función afín.
Ejemplo. Un taxi cobra $600 de bajada más $250 por kilómetro: C(x) = 600 + 250x.
Un viaje de 12 km cuesta 600 + 250 · 12 = $3.600.
Si alguien pagó $2.350: 250x = 1.750, entonces x = 7 km.
Un viaje de 12 km cuesta 600 + 250 · 12 = $3.600.
Si alguien pagó $2.350: 250x = 1.750, entonces x = 7 km.
5. Sistemas de dos ecuaciones
Ejemplo (por suma). x + y = 10 y x − y = 2
Sumamos las dos ecuaciones: 2x = 12, entonces x = 6. Luego y = 10 − 6 = 4.
Solución: x = 6, y = 4.
Sumamos las dos ecuaciones: 2x = 12, entonces x = 6. Luego y = 10 − 6 = 4.
Solución: x = 6, y = 4.
Errores comunes
- Olvidar multiplicar todos los términos del paréntesis: 3(x + 2) = 3x + 6, no 3x + 2.
- Cambiar de lado un término sin cambiarle el signo.
- Confundir la pendiente con el coeficiente de posición.
- No comprobar el resultado en la ecuación original.
Ejercicios para practicar
- Resuelve 4x − 9 = 15.
- Resuelve 3(x + 2) = 2x + 11.
- Resuelve x/4 − 1 = 2.
- Para f(x) = −x + 7, calcula f(2) y el valor de x para el cual f(x) = 0.
- Encuentra la ecuación de la recta que pasa por (0, 4) y (2, 10).
- Un plan de celular cobra $5.000 fijos más $50 por minuto. Si una persona pagó $8.500, ¿cuántos minutos usó?
- Resuelve el sistema 2x + y = 11 y x − y = 1.
Ver respuestas
- x = 6.
- 3x + 6 = 2x + 11, entonces x = 5.
- x = 12 (x/4 = 3).
- f(2) = 5; f(x) = 0 cuando x = 7.
- m = (10 − 4) / (2 − 0) = 3, y corta el eje y en 4: y = 3x + 4.
- 50x = 3.500, entonces 70 minutos.
- Sumando: 3x = 12, entonces x = 4 e y = 3.
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